三相多芯柱电力变压器的谐波模型研究
吴笃贵1，徐 政2
（1．许继日立电气有限公司，河南省
许昌市 461000；
2．浙江大学电气工程学院，浙江省
杭州市 310027）
摘 要：提出了一种基于铁芯拓扑结构的三相多芯柱电力变压器谐波建模的新方法，将三相变压器用一组电路和磁路方程来描述，选用激磁主磁通和磁动势作为联接电路方程和磁路方程的中间变量。将三相变压器的谐波建模问题归结为三相变压器激磁电流的分析和计算，详细阐述了三相三芯柱变压器和五芯柱变压器激磁电流的计算和分析方法。在该模型中用单值磁化曲线来描述变压器铁芯的饱和效应，而涡流、磁滞和杂散损耗用三个等值电阻来模拟的。作者还讨论了建立相坐标下三相变压器谐波模型的基本方法。
关键词：三相变压器；谐波模型；激磁电流
1 引言
建立包括三相变压器在内的电力系统设备的谐波模型是电力系统谐波分析的基础。尽管人们对单相变压器的谐波模型已作了很多研究，取得了一些成绩[1]，但对于三相变压器的谐波模型却没有太多的研究。文献[2]在研究与大容量换流站相联的输电线路中产生零序谐波电流的问题时，将三相变压器模拟成6个相互耦合的线圈并用一个6´6维的导纳矩阵表示。受变压器铁芯饱和的影响，这一导纳矩阵必然是非线性并且是电压相关的，用来进行网络谐波分析并不方便。谐波诺顿等效电路是研究变压器激磁特性的方法之一，最早由A.Semlyen提出并应用于谐波潮流研究[3]。后来，E.Acha将这一方法进一步推广，使之能够正确模拟三相变压器相、相之间和谐波之间的相互耦合[4]。1992年，A.Medina基于单、三相变压器的磁路分析推导了电力变压器的通用谐波域模型[5]，并将这一方法应用于多芯柱变压器的谐波域仿真研究，是谐波诺顿等效电路的另一种形式[6]。然而这些模型还是存在局限性。①模型推导都是建立在变压器铁芯特性的一阶线性化基础上的，作者并没有明确指出方法本身的截断误差会对研究结果产生什么影响；②应用该分析方法的前提是变压器的激磁磁通畸变率较小，因而可以将谐波磁通看成是叠加在基波磁通之上的微增量，因此模型的适用范围必然受到一定限制；③等效电路将基波磁通产生的激磁电流作为谐波电流源，而激磁特性的线性化实际上忽略了高次谐波之间的相互耦合，因此这些模型都是不严谨的。
建立三相变压器谐波模型的主要困难在于：①还没有找到合适的表征三相变压器铁芯非线性激磁关系的方法；②没有找到分析三相变压器磁路耦合的基本途径；③不知如何反映激磁电压谐波分量与激磁电流谐波分量的相互耦合。近几年来，随着人们对多相多芯柱变压器电磁暂态模型研究的不断深入，提出了许多基于变压器铁芯拓扑结构的电磁暂态计算机仿真模型[7,8]，找到了能有效解决上述三个问题的基本方法。本文将三相变压器分为电路、磁路两部分，分别建立描述其特性的约束方程，最后通过两组接口方程将电路、磁路方程联系起来，最终建立起完整的三相变压器谐波模型。由于本模型全面考虑了三相变压器中存在的三相磁路相关性，各个线圈的自漏感以及相与相之间的互漏感，磁化曲线的饱和、磁滞效应，并能自然包含副方D接法时的去磁和助磁作用等，因此所得模型是完整的。
为了简化三相变压器的等效电路，本文作三点假设：
（1）忽略变压器自漏感和互漏感可能发生的饱和；
（2）忽略激磁电流和激磁磁通之间的延迟时间；
（3）三相之间具有相同的铁芯损耗并可用三个等值电阻模拟。
2 三相变压器谐波模型的基本特征
三相变压器的谐波模型不是三个单相变压器谐波模型的简单组合，它必须具备下列四个基本特性：
（1）电气参数的频率相关性。同单相变压器谐波模型相比，三相变压器的谐波模型除考虑集肤效应和邻近效应对绕组电阻的影响及漏抗的谐波特性外，还需考虑相与相之间、原副边绕组之间互漏感的影响及互感抗的谐波特性。由于各绕组之间的互漏磁通仅流过气隙和箱壁，因此可不考虑其路径饱和的影响。
（2）运行条件的适应性。三相谐波模型必须能够适用于三相变压器的任何不平衡运行条件，并且不能产生新的附加误差。
（3）激磁电流的不对称性。在三相变压器中，激磁电流的不对称不仅依赖于运行条件的不对称，而且还受具体铁芯结构的影响。三相变压器的谐波模型必须能够正确模拟因为铁芯结构差异而导致的模型之间的差异。
（4）谐波之间的交叉耦合。变压器激磁回路的谐波电流不仅来源于铁芯磁化曲线的非线性特性，而且激磁电压中的谐波分量也会导致更严重的激磁电流失真。新的谐波模型不仅要考虑磁化曲线的非线性，而且还要包含激磁电压失真对谐波模型的影响，这也是单相变压器激磁电流采用时域分析的原因之一。
同单相变压器相比，建立三相变压器的谐波模型要困难得多。除了必须考虑电气参数的频率相关性以外，模型还应当考虑三相电气参数的本质不对称、变压器铁芯结构的不对称性以及相与相之间的相互耦合等具体因素对数学模型的影响，简单地利用三个单相变压器谐波模型来模拟三相变压器谐波特型的做法是不严谨的，严重时甚至有可能会得出错误的分析结果。因此，研究详细的三相变压器谐波模型是一项非常具有现实意义的工作。
3 三相变压器的通用谐波模型[9]
3.1 模型的建立
建立三相变压器的谐波模型首先遇到的问题就是如何表达和分析非线性系统，特别是存在于变压器铁芯中磁通、磁势非单一关系的情况；另一个关联问题就是须有一台三相变压器模型，它适用于在谐波情况下描述变压器中存在的不平衡条件，并能根据铭牌、物理参数和运行条件得出完整的解析表达式。为方便起见，本文在此首先选用三相三芯柱变压器进行推导。
图1是计及零序磁通回路的三相三芯柱变压器物理模型。图中，Φ1，Φ2，Φ3，分别为三相变压器的激磁主磁通；Φ11，Φ22，Φ33分别为三相变压器原方自漏磁通；Φ12，Φ23，Φ31分别为三相变压器原方互漏磁通；Φ0表示三相变压器对箱壁和气隙的漏磁通，在等效磁路中用零序回路模拟且不计其饱和的影响。应该指出的是，三相变压器模型共有12个互漏磁通，为清楚起见，图中没有一一标出。图中A1～A5为各段铁芯的有效横截面积；l1～l5为各段铁芯的有效长度。
完整的变压器谐波模型可分成两部分，为电路方程和磁路方程，二者之间通过两组接口方程联系起来。本文下面对此进行一一说明。
3.2 电路方程
根据图1我们可以列出三相变压器矩阵形式的电路方程
式中 
表示微分因子；下标1~6表示原边A，B，C和副边a，b，c相线圈的编号；e1~e6表示各相原、副边绕组的感应电势，其中
；r1~r6表示各相原、副边绕组的电阻；L1~L6表示各相原、副边绕组的自漏感，此处考虑为常数；Mij表示线圈i，j之间的互漏感，此处考虑为常数，其中i，j =1~6。
3.3 电磁接口方程
电磁感应定律是联接电路参量和磁路参量的基本依据。因此，三相变压器原、副边感应电势与激磁磁通之间有下列关系成立
式中 N p，N s表示三相变压器原、副边绕组的匝数。因此有
3.4 磁路方程
由于三相变压器磁路的互联性，其每相芯柱的磁通不仅是该相磁势的函数，而且还与其它相的磁势有关，这是导致三相变压器激磁电流计算比单相变压器复杂的主要原因。图2所示为三相三芯柱变压器的等效磁路。
安培环路定律和磁路高斯定律是建立磁路方程的基本依据，按照与线性电路相似的规则，以三相绕臂和零序磁通路径构成的回路列磁路方程，则有
式中 F1～F 2为三相变压器激磁主磁势；φ0，R0为零序磁通回路的磁场强度和磁阻；R1～R 5为变压器三相绕臂和铁轭的磁阻。应当注意，他们都是本段铁芯流过磁通的非线性函数。
3.5 磁电接口方程
在三相变压器中，产生每相主磁通的主磁势是由该相的原、副边电流共同产生的，因此可列出如下的磁电接口方程
根据方程（1），（5）和（8），可以得出描述三相变压器基本电磁关系的数学模型，如图3所示。为简明起见，原边与副边各绕组之间的互漏感没有标出。可以看出，三相变压器的等效电路是电路、磁路之间存在相互耦合的三个单相变压器等效电路的简单组合，其中电路之间的耦合程度表现为12个互漏感系数的大小，磁路之间的相互耦合表现为三个激磁电流源的不同数值。因此，如果我们能够分别计算出变压器的三相激磁电流且按谐波次数解耦，并考虑到绕组电阻和漏抗的频率相关性，完整的三相变压器谐波模型就可以建立起来。由于上述等效电路的推导过程不涉及具体的铁芯结构，因此所得结果完全适用于三相五芯柱变压器。
4 三相变压器的磁路分析
4.1 计算条件
磁路分析是计算三相变压器激磁电流的基本方法。同单相变压器相比，三相变压器激磁电流计算需要描述每段铁芯不同运行条件下激磁特性的Ψ-i曲线，但没有现成的数据可以利用，也没有可靠的方法来得到这些数据。本文避开了通过测量获得Ψ-i曲线的困难，采用B-H曲线和有关的物理尺寸进行激磁电流计算。由于B-H曲线完全由铁芯材料决定，而有关尺寸由变压器的具体物理结构决定，因此所介绍的方法在理论上是合理的，但计算精度会受物理参数精度的影响。
4.2 铁损电流的分析和计算
铁损电流是激磁电流的有功分量部分，其物理本质在于磁化曲线的不可逆性，涡流损耗则表现为磁滞回线的动态变化。鉴于模拟动态磁滞回线的困难，精确计算多芯柱变压器不同运行条件下的铁损电流是不可能的。因此本文利用三个等值电阻来模拟三相变压器的铁损特性，具体数值可以根据变压器的铭牌参数计算出来。
4.3 三芯柱变压器的磁路分析
三芯柱变压器的磁路可分成零序磁路和正（负）磁路两部分。对零序磁路而言，由于零序磁通主要沿空气隙和变压器箱壁流动，一般不必考虑其饱和问题，因此零序电感是可以通过原边（或副边）同相激磁试验预先测量出来的常数。
根据磁路的高斯定律，有
因此，当三相变压器的感应电势已知时，利用式（9）可以方便地计算出三相绕组产生零序电势的激磁电流分量。
对于正（负）序磁路路径，由于受变压器铁芯饱和的影响，式（6）中各段铁芯的磁阻是本段铁芯流过磁通的非线性函数，因此必须利用逐点法在时域进行分析求解。假设铁芯材料磁化曲线的函数表达式为
将式（12）代入式（6）中各式并考虑到此时零序磁通φ0=0，则有
因此，当三个正（负）序激磁主磁通已知时，利用逐点法可以得出三个对应的激磁主磁势在一个周期内的一组离散值，进而可以得出激磁电流在一个周期内的一组离散值，经离散傅立叶变换（DFT）后即可分析出此时激磁电流的谐波含量。最后将有功、零序和正（负）序激磁电流分量叠加后即可得到总的激磁电流数值。
4.4 三相五芯柱变压器的磁路分析
由前面的分析过程可知，三相五芯柱变压器具有同三相三芯柱变压器相同的谐波模型结构，二者的区别在于磁路结构，因此只要找到合适的磁路分析方法，三相五芯柱变压器的谐波模型就可以方便地建立起来。
同三芯柱变压器相比，五芯柱变压器的零序磁通始终在铁芯中流动，因此激磁电流计算可以一次完成。根据电路与磁路关系的相似性和图4所示的等效磁路，可以列出如下的网孔磁压方程
根据磁路高斯定律可得如下的节点磁通方程
式（14）中Ri是φi的非线性函数，所以说方程（14）和（15）实际上共有7个方程，7个未知数，因此方程可解。
三相变压器的磁路分析过程是迭代求解过程，牛顿－拉夫逊可用来对这一非线性方程组求解。首先当变压器原边的感应电势已知时根据电磁感应定律可以得出变压器三个绕臂中的激磁磁通，将三个激磁磁通在一个周期内依次离散、量化为N个点并代入上述方程，则可得出激磁磁势的一组离散值，并进而得出激磁电流的一组离散值，经离散傅立叶变换后即可分析出激磁电流的谐波成分。由于原非线性方程是单调函数，方程组的解将是唯一的。
5 三相变压器激磁电流计算
5.1 计算方法
同单相变压器相同，三相变压器的激磁电流计算也必须采用迭代法进行。考虑到用非线性方程的迭代算法，完整的激磁电流计算须经过两次迭代，比单相变压器的激磁电流计算要困难得多。限于篇幅，本文不进行详细的三相变压器激磁电流计算，只列出其主要步骤：
（1）忽略变压器激磁电流的影响，利用标准频域法计算变压器原边电流作为迭代运算的初值；
（2）根据变压器原边电流计算原边感应电势；
（3）利用标准频域法计算变压器副边电流；
（4）根据式（4）和第2步计算结果计算变压器三相激磁主磁通，并离散、量化为N组离散点；
（5）取一组离散值代入式（13）或（14）、（15）形成变压器磁路方程；
（6）利用磁路分析算法求解相应三相磁动势的数值，进而求出激磁电流的离散值；
（7）重复步骤（5）、（6）共N次，直至得到激磁电流一个基波周期内的N组离散值；
（8）利用离散傅立叶变换分析出激磁电流的谐波成分；
（9）根据变压器激磁电流和副边电流计算原边电流；
（10）修正变压器原边感应电势，返回步骤2）重新开始新一轮迭代直至收敛。
5.2 算例分析
为了说明算法的收敛性，对一台三相五芯柱变压器的激磁电流进行分析计算。由于缺乏现成的三相五芯柱变压器计算参数，计算对象是虚拟的，其有关参数为：额定功率：187.5MVA；接线方式：Y0/Y0 ；原边绕组基波电阻：RP1,2,3 = 0.0258Ω；副边绕组基波电阻：RS1,2,3 = 1.225Ω；原边互漏感：MP1,2,3 = 0.5mH；原副边绕组互漏感：Mp,s =
3.5mH；绕臂长度：3.59m；铁轭长度：2.656m；额定电压：16/110kV；变比：k = 6.875；原边自漏感：LP1,2,3 =1.5mH；副边自漏感：LS1,2,3 = 70.9mH；副边互漏感：MS1,2,3 = 24mH；激磁电阻：R m = 15000Ω；绕臂横截面积： 0.4536m2
；铁轭横截面积：0.3536m2
；
磁化曲线表达式为：
表1给出了三相变压器原、副边绕组的谐波电压相量,它可以是谐波分析过程中前一次的迭代结果，也可以是运行过程中变压器原边谐波电压的实测值；表2给出了激磁电流计算过程中前3次迭代的1,3,5次谐波电流及最后的稳定值。可以看出，经过3～4次迭代后即可得到令人满意的计算结果。
5.3 谐波模型研究
现有文献中[3,10]，多数激磁电流计算算法都忽略了变压器绕组电阻和漏抗对计算结果的影响，因此有必要对变压器谐波模型的完整性进行研究。为此我们在相同的运行条件下分别计算出忽略变压器绕组互漏感和忽略变压器绕组电阻和漏抗时激磁电流的数值，如表3所示。当忽略变压器绕组漏抗时，激磁电流的收敛值与采用完整模型时的收敛值相比存在较大的计算误差，因此完整的变压器谐波模型对电力系统谐波分析来讲是完全必要的。文章同时给出了忽略变压器绕组互漏抗时的收敛解，同采用完整模型的计算结果相比不存在太大的计算误差，主要原因在于相与相之间互漏感的数值一般较小。因此，此时可以忽略变压器互漏感的影响，计算可得到一定简化。
6 谐波等效电路的推导
计算出激磁电流以后，完整的三相变压器T型等效电路已基本建立起来。同单相变压器类似，上述模型不能直接用来形成整个电网的节点谐波导纳矩阵，因此有必要推导它的p型等效电路。将图3按谐波次数解耦后即可得到某一谐波频率下的三相变压器模型，如图5所示。为便于建立三相变压器的相坐标模型，图中副边电流的参考方向以流出绕组为正，k = Ns/Np。
对某一谐波频率来说，由于电路参数的互易性可将式（1）写成分块矩阵形式并按原、副边分别展开，则有
根据变压器的受控源模型和图5可知
根据式（18），我们不难写出三相变压器分块矩阵形式的数字模型，如式（19）所示。
其中I代表3×3维的单位矩阵。
与式（19）相对应，我们可以画出三相变压器集总形式的等效谐波模型并如图6所示。显然，它比单相变压器的等效谐波模型复杂得多。
7
三相变压器的相坐标模型
与对称分量法相比，相坐标在电力系统的多重故障分析、不对称电力系统的稳态分析以及电力谐波的扩散研究方面具有独特的优越性。其关键问题是建立相坐标下的电力系统元件的数学模型[11]。上面的过程中没有涉及变压器绕组的具体联接方式，因此所得模型称为基本谐波模型，还不能直接应用于电力系统的分析和计算。下面就利用关联矩阵的概念讨论建立三相变压器相坐标模型的基本方法[12]。为简单起见，本文仅以Y0/△联接方式为例进行说明，读者不难将其基本原理推广到基它情况，联接图见图7。
图中所有的节点电压都是以大地为基准的，字母下标表示节点或线路参数数学下标表示端口或绕组参数。按照图7的联接方式，端口电压和节点电压之间的关系可用下面的关联矩阵表示，其中的0和1在数学上决定了变压器绕组的物理联接。
根据基霍夫电流定律，变压器的线电路和支路电流之间有下列关系：
参考文献
[1] 吴笃贵, 徐政.
电力变压器的谐波模型[J]. 电网技术, 1999，23（3）：34-37.
[2] Arrillaga J, Densem
TＪ,
Harker ＢJ.
Zero sequence current generation in transmission lines connected to large
converter plant [J]. IEEE Trans Power App. Syst., Vol.102, No.7, July 1983:
2357-2363.
[3] Semlyen A, Acha E,
Arrillaga J. Harmonic norton equivalent for the magnetizing branch of a transformer[J].
IEE Proc. Vol.134, Pt.C, No.2, March 1987：162-169.
[4] Acha E, Arrillaga J, Medina A, et al.
General frame of reference for analysis of harmonic distortion in systems
with multiple transformer nonlinearities[J]. IEE Proc., Vol.136, Pt.C, No.5, Sept. 1989：271-278.
[5] Medina A, Arrillaga J. Generalized modeling of power transformers in the
time domain[J]. IEEE Trans on Power Delivery, Vol.7, July 1992：1458-1465.
[6] Medina A, Arrillaga J. Simulation of multilimbs power transformers
in the harmonic domain[J]. IEE Proceedings-C, Vol.139, No.3, May 1992.
[7] Chen X S, Neudorfer P. Digital model for transient studies of a three-phase
five-legged transformer[J]. IEE Proc.-C, Vol.139,No.4, July 1992：351-358.
[8]
Chen Xusheng. A three-phase
multi-legged transformer model in ATP using the directly-formed inverse inductance
matrix[J]. IEEE Trans on Power Delivery, Vol.11, No.3, July 1996：1554-1561.
[9] 盛海华，李菊. 三相变压器涌流计算[Z]. 浙江大学电力系统及其自动化教研组，1987，10.
[10]
Dommel H W, Yan A, Wei Shi. Harmonics from transformer saturation[J].
IEEE Trans on Power Systems, Vol.PWRD-1, No.2, April 1996：209-215.
[11]
徐政.
相坐标法电力系统稳态分析[J]. 继电器，1994，22（4）：13-17.
[12]
Chen Mo-Sheng, Dillon William. Power system modeling[J]. Proceedings
of the IEEE, Vol.62, No.7, July 1974.
发表评论
打印本文
推荐本文
加入收藏
返回顶部
关闭窗口
